Пусть Ω – плоская область, ограниченная замкнутой несамопересекающейся кривой. Обозначим через S площадь Ω, Р – её периметр и N – число точек целочисленной решетки Z
2, лежащих внутри Ω. Для выпуклой области известно неравенство Ярника
и его уточнение
Следующее утверждение показывает, что требование выпуклости можно отбросить осла¬бив формулировку.
Теорема. Справедливо неравенство
Доказательство. Пусть – число квадратов вида ,лежащих внутри , и – число квадратов, имеющих с хотя бы одну общую точку. Тогда
,
и, значит, , где М – число квадратов, через которые проходит граница . В каждом из таких квадратов выберем точку на границе (нумерация точек – в порядке их следования по границе). Среди любых пяти квадратов, через которые проходит граница , всегда можно выбрать два, замыкания которых не имеют общих точек. Поэтому при любом k с длина отрезка границы между точками и удовлетворяет неравенству Отсюда
Значит,
и
Задача для исследования. Выясните, можно ли уточнить константу в доказанной теореме.
