При измерении физической величины X её числовое значение свидетельствует о том, сколько раз в X содержится некоторая единица измерения [x]. Это означает, что
(1)
Если, например, сила тока I = 10 A, то {I}=10, [I]=1 A. Соотношение (1) можно записать в виде
x={x}·[x]. (2)
При уменьшении единицы измерения в α раз
т.е. числовое значение величины x возрастает в α раз.
Сама физическая величина при этом не изменятся, поскольку
x={x}·[x]={X}·[X]. (3)
Для каждой физической величины можно в принципе установить свою единицу, никак не связанную с единицами других величин. Это приводит, однако, к тому, что в уравнениях, выражающих физические законы, появляется множество численных коэффициентов. Уравнения становятся необозримыми, формулы слишком сложными. Чтобы избежать этого, в физике уже давно отказались от независимого выбора единиц всех физических величин и стали применять системы единиц, построенные по определённому принципу, который состоит в следующем. Некоторые величины принимаются за базисные, т.е. такие, для которых единицы устанавливаются произвольно. Так, например, в механике применяется система {L, M,, T}, в которой за базисные величины принимаются длина L, масса M и время T. Выбор базисных величин и их число произвольны. Это вопрос соглашения. Величины, не являющиеся базисными, называются производными. Для производной величины единицы устанавливаются на основе формул, служащих их определением.
Здесь возникает понятие размерности. Если, например, число базисных величин равно трём и за них приняты длина L, масса M и время T, то для размерности произвольной величины y имеем
dimy = LpMqTr. (4)
где p, q, r — постоянные числа. Формула (4) показывает, что если единицы длины, массы и времени уменьшить в α, β, γ раз соответственно, то единица производной величины y уменьшится в α
pβ
qγ
r раз и, следовательно, её числовое значение увеличится в такое же число раз. В этом и состоит смысл понятия размерности. Заметим, что для безразмерной величины Z
dimZ = 1
На практике величины p, q и r оказываются рациональными числами. Это обусловлено соответствующими определениями физических величин.
Часто размерность физической величины отождествляют с её единицей в соответствующей системе единиц. Так, например, говорят, что скорость — размерность м/с, давление — H/м
2. В этом нет большой беды, хотя, строго говоря, это неверно: размерность скорости — LT
-1, а давления — ML
-1T
-2.
С понятием размерности тесно связано понятие подобия физических явлений. Рассмотрим один простой пример: механическое движение планет Солнечной системы. Как известно, они движутся по эллиптическим орбитам вокруг Солнца под действием гравитационного притяжения. Потенциальная энергия планеты как материальной точки при этом равна
где k — постоянная величина, пропорциональная произведению массы планеты и массы Солнца; r — расстояние планеты от центра Солнца.
Изменим единицы измерения длины и времени таким образом, что
(5)
где x, y, x — декартовы координаты планеты, t — время. Под действием преобразования подобия (5) кинетическая энергия и потенциальная энергия E
k претерпевают следующие изменения
(6)
Соотношения (6) совместны, если
, т.е.
. (7)
Формула (7) свидетельствует о том, что характерные линейные размеры I орбиты планеты и характер ные времена движения планеты связаны соотношением
(8)
Можно видеть, что исходя из элементарных соображений подобия механического движения, мы пришли, по существу, к формулировке третьего закона Кеплера, который звучит следующим образом.
Квадраты времён обращения планет относятся как кубы больших полуосей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца.
