Десять на десять

Осенью 2007 года корреспондент Троицкого телевидения беседовал с Федором Ивлевым, выигравшем в том году Всероссийскую математическую олимпиаду. Корреспонденты – они как дети, их интересуют совершенно неожиданные вещи. Был задан вопрос: «Легко ли решать олимпиадные задачи?», на что Федор ответил, что главное – это уловить идею задачи, ее тему. Очень ценный совет профессионала, попробуем им воспользоваться, решая следующие задачи:

1. У правильного 5000-угольника покрашена 2001 вершина. Докажите, что можно выбрать три покрашенные вершины, которые являются вершинами равнобедренного треугольника. (Московская область, 2001, районный этап, 10-11 классы.)
2. На плоскости даны n векторов, длина каждого не превосходит 1. Докажите, что можно выбрать α и повернуть все векторы на угол α (некоторые - по часовой стрелке, а некоторые – против) так, чтобы длина суммы векторов нового набора не превосходила 1. (Московская областная, 2008, первый тур, 11 класс.)
3. Может ли ладья обойти все клетки шахматной доски 10x10, побывав на каждой клетке ровно по разу, чередуя ходы длиной в одну и в две клетки? (Считается, что, делая ход в две клетки, ладья не проходит по промежуточной клетке.) (Московская областная, 2008, второй тур, 10-11 классы.)
4. Можно ли покрыть шахматную доску 10x10 прямоугольными плитками размером 4x1? (Заочный конкурс Шестого турнира Архимеда, 1997.)