Задачи А. Н. Колмогорова

Здесь предложены избранные задачи (в электронном варианте приведены лишь некоторые задачи из статьи) из числа тех, которые Андрей Николаевич Колмогоров предлагал учащимся спецшколы школы-интерната №18 при МГУ (ныне – школа им. А.Н. Колмогорова), на страницах журнала «Квант» и студентам механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

В этом году исполняется 45 лет со дня основания школы им. Академика А.Н. Колмогорова и мы поздравляем учащихся, выпускников, преподавателей и сотрудников школы с этим замечательным событием.

Эти задачи могут стать началом для самостоятельных исследований и для подготовки докладов для участия в различного рода конкурсах и конференциях школьников.

1. Какие правильные многоугольники можно получить в пересечении куба плоскостью? Тот же вопрос для других правильных и полуправильных многогранников.
2. Дана центральная проекция каркасного многогранника типа куба (кубоид), на которой стерта одна вершина и три ребра, которые ее содержат. При помощи линейки восстановить весь рисунок.
3. Дан угол и точка М внутри него. Существует ли фигура (отдельный вопрос для выпуклой фигуры), которая при вращении, касаясь сторон угла, будет содержать точку М на своей границе?
4. Назовем гладкой дугу, которая может быть представлена в параметрическом виде Р = F(t), где t пробегает отрезок [a,b], Р – точка плоскости, а F –дифференцируемая (векторная) функция.
   1. Это определение очень интересно, но несколько отличается от обычного. Доказать, например, что любая ломаная является гладкой дугой в указанном смысле.
   2. Существуют ли не гладкие дуги конечной длины?