Турниры-перевёртыши

Чемпионат России 2006 года по футболу выиграл футбольный клуб ЦСКА. «Спартак» набрал то же количество очков, что и армейский клуб, но уступил конкуренту по дополнительным показателям. Однако болельщики «Спартака» утверждают, что именно их любимая команда была сильнее всех. Ведь система подсчета очков, при которой за победу команде начисляется 3 очка, за ничью – 1 очко, а за поражение – 0 очков, была введена относительно недавно. Если же подсчитать очки по старой системе, при которой за победу начислялось всего 2 очка, то «Спартак» окажется впереди ЦСКА на целых три очка. Болельщики армейцев резонно возражают, что регламент первенства был утвержден заранее и известен всем участникам.

Авторы не берутся рассудить болельщиков, полагая, что они никогда не придут к консенсусу. Предыдущий пример приведен лишь для того, чтобы проиллюстрировать очевидный факт: при подсчете очков по старой и новой системам итоговые таблицы одного и того же турнира могут существенно отличаться. Наша цель – выяснить, что же скрывается под словом «существенно». Могут ли участники первенства в результате перехода к другой системе подсчета очков расположиться в итоговой таблице в обратном порядке?

Дабы не погрязнуть в сравнении дополнительных показателей (количество побед, разность забитых и пропущенных мячей, результаты личных встреч команд, набравших одинаковое количество очков), которые меняются от соревнования к соревнованию, договоримся рассматривать лишь такие турниры, в которых никакие две команды не набрали поровну очков. Такие турниры мы будем называть «строгими». Если в строгом турнире при подсчете очков по старой системе участники выстраиваются определенным образом, а при новой системе – в обратном порядке, и строгость турнира сохраняется, то такой турнир будем называть «перевертышем».

А не поторопились ли мы с введением нового термина? Вдруг турниров, обладающих вышеописанным свойством, не существует? Попробуем построить итоговую таблицу хотя бы одного такого турнира-перевертыша…