Задача Вовы

Не всякая задача, постановка которой проста, легко решается. Иногда существует элементарное решение в виде формулы, которое можно выписать явно, но его аккуратное исследование довольно трудоёмко.

Вот пример задачки, которую придумал один мой знакомый девятиклассник.

Дан остроугольный треугольник, и пусть отрезок соединяет точку пересечения его высот с точкой пересечения биссектрис. Может ли случиться, что отрезок MN параллелен одной из сторон треугольника? Если да, то при каких условиях? Как его вычислить?

При решении физических задач впереди всегда идёт эксперимент. Теперь и в математике есть возможность проводить эксперименты: получать решение при помощи компьютера. Вот и мы сначала получили компьютерную картинку треугольника, в котором необходимый отрезок имеется, и даже убедились, что таких картинок можно нарисовать много.

В этой заметке я собираюсь привести подробное «алгебраическое» решение задачи. А кто-нибудь из вас, может быть, сам нарисует решение с помощью компьютера или даже придумает геометрическое решение. Было бы также неплохо, если бы кто-то сам попытался придумывать задачки и сделал попытки их самостоятельно решать.