Потенциал Образовательный журнал
для старшеклассников и учителей

<< К разделам
Математика
Все статьи
Журнал
Подписка
Интернет-Журнал «Потенциал» External link mark
Авторам
Печатные номера
Полезные сайты
ЗФТШ External link mark
МЦНМО External link mark
Журнал "Квант" External link mark
"Открытый Колледж" External link mark
Союз образовательных сайтов External link mark
Интернет-портал "Абитуриент" External link mark
Другие ссылки...

WOlist.ru - каталог качественных сайтов Рунета Союз образовательных сайтов Rambler's Top100 Портал ВСЕОБУЧ. Все образование Москвы и регионов РФ.

Главная Подписка Архив Авторы Фотоальбом Подготовка в вуз Магазин

Целые точки в областях

Пусть Ω – плоская область, ограниченная замкнутой несамопересекающейся кривой. Обозначим через S площадь Ω, Р – её периметр и N – число точек целочисленной решетки Z2, лежащих внутри Ω. Для выпуклой области известно неравенство Ярника
и его уточнение
Следующее утверждение показывает, что требование выпуклости можно отбросить осла¬бив формулировку. Теорема. Справедливо неравенство
.
Доказательство. Пусть N1 – число квадратов вида (a, b ∈ Z), лежащих внутри Ω, и N2 – число квадратов, имеющих с Ω хотя бы одну общую точку. Тогда
,
и, значит, , где М – число квадратов, через которые проходит граница Ω. В каждом из таких квадратов выберем точку Ak (0≤k≤M) на границе Ω (нумерация точек – в порядке их следования по границе). Среди любых пяти квадратов, через которые проходит граница Ω, всегда можно выбрать два, замыкания которых не имеют общих точек. Поэтому при любом k с длина отрезка границы между точками Ak и Ak+4 удовлетворяет неравенству
.
Отсюда
.
Значит,
и
.
Задача для исследования. Выясните, можно ли уточнить константу в доказанной теореме.


© Журнал "Потенциал", 2005-2019. Все права защищены. Воспроизведение материалов сайта и журнала "Потенциал" в любом виде, полностью или частично, допускается только с письменного разрешения редакции.
Отзывы и пожелания шлите почтой.
Подготовка к ЕГЭ
ЕГЭ по математике
login