Целые точки в областях

Пусть Ω – плоская область, ограниченная замкнутой несамопересекающейся кривой. Обозначим через S площадь Ω, Р – её периметр и N – число точек целочисленной решетки Z², лежащих внутри Ω. Для выпуклой области известно неравенство Ярника и его уточнение Следующее утверждение показывает, что требование выпуклости можно отбросить осла¬бив формулировку. Теорема. Справедливо неравенство . Доказательство. Пусть N₁ – число квадратов вида (a, b ∈ Z), лежащих внутри Ω, и N₂ – число квадратов, имеющих с Ω хотя бы одну общую точку. Тогда , и, значит, , где М – число квадратов, через которые проходит граница Ω. В каждом из таких квадратов выберем точку A_k (0≤k≤M) на границе Ω (нумерация точек – в порядке их следования по границе). Среди любых пяти квадратов, через которые проходит граница Ω, всегда можно выбрать два, замыкания которых не имеют общих точек. Поэтому при любом k с длина отрезка границы между точками A_k и A_k+4 удовлетворяет неравенству . Отсюда . Значит, и . Задача для исследования. Выясните, можно ли уточнить константу в доказанной теореме.