Монотонные функции в уравнениях и неравенствах.

В пособиях автора и в статьях в нашем журнале рассматривались условия равносильности для показательных и логарифмических неравенств («Потенциал» №3-4, 2005). Как показывает практика работы с учителями и школьниками, методика, если принимается, успешно усваивается. Причем, школьники, если начинают по ней решать, работают с большим удовольствием: ведь решать становится намного проще. Как показывает опыт проверки заданий ФЗФМШ при МФТИ, все – таки не все используют эту методику – именно поэтому автор не решалась широко использовать ее для произвольных монотонных функций. Однако все чаще школьники старших классов спрашивают, как решить некоторые довольно громоздкие уравнения или неравенства, которые заведомо не решаются школьными методами. Школьники при этом сами говорят, что решением является такое – то число. Откуда оно взялось? Из монотонности – робко, но гордо произносят они. Как именно это следует для данной задачи? На этот вопрос, как правило, ответа нет. Работать с произвольными монотонными функциями не просто. Практика показала, что и школьникам, и некоторым учителям трудно дается этот материал. Трудность состоит в том, что функции, как правило, сложные, монотонны по отношению к «аргументу», а не независимой переменной - поэтому разобраться, по отношению к чему они монотонны, не всегда сразу удается. В последние годы все чаще стали появляться такие задачи и на вступительных экзаменах в вузы. Как правило, эти задачи можно было решить и школьными методами, но довольно громоздко. Но вот появилась задача (пример 2), которую «по - школьному» я решать не умею. Именно она дала повод и необходимость написать эту статью.