Слово о последовательности

"Есть 7 домов,7 кошек,7 мышей,7 колосьев
ячменя,7мер зерна;сколько всего?"

(Задача, записанная на папирусе,
 найденном в египетской гробнице)

Все в мире течёт и изменяется во времени. Но время - непрерывный и невидимый параметр. Далеко не за всеми явлениями можно проследить в течение всего времени их существования. Гораздо чаще мы замечаем и отмечаем наиболее яркие события жизни, происходящие не непрерывно, а через конечные промежутки времени, в некоторые конкретные моменты, так что мы их можем "выстроить" в некоторую последовательность событий. Кто-то последовательно, год за годом, следит за тем, сколько гостей сидит за его праздничным новогодним столом; родители очень часто последовательно делают записи (сначала месяц за месяцем, а позже тоже год за годом), например, о росте или весе своего ребенка и т.д. Мы с интересом воспринимаем сведения об изменении среднегодовой температуры в нашем городе и мире с момента начала наблюдений - ведь всех волнует вопрос о прогнозируемом потеплении планеты! В течение каждого дня, час за часом, последовательно, мы совершаем какие-то поступки. Всё это можно описать с помощью последовательностей.

Различным последовательностям и посвящена эта заметка.Мы рассмотрим арифметические прогрессии, геометрические прогрессии, последовательности,заданные рекуррентными линейными однородными соотношениями. Рассмотрим некоторые очень известные последовательности, как, например, последовательности чисел Фибоначчи,логарифмическую спираль (ломаную) и "выросшее" на ней склонившееся дерево Пифагора, а также поговорим о числовой последовательности x_n+1 = λx_n(1-x_n), исследования которой открыли один из основополагающих сценариев перехода к так называемому хаосу. Приведём примеры наиболее интересных задач, содержащих прогрессии, которые были на вступительных экзаменах в разные вузы. Заметка будет интересна девятиклассникам, изучающим прогрессии сейчас, выпускникам, готовящимся к выпускным или вступительным экзаменам, и все тем, кто просто любопытен.