Некоторые вопросы теории интерполяции функций.

Задача интерполяции появилась очень давно, по-видимому, ещё во времена создания евклидовой геометрии, или ещё раньше, когда земледельцы делили землю, и возникла необходимость провести прямую через две точки. Значительно позже, когда математики научились строить квадратичную параболу, они поняли, что однозначно эту кривую можно провести через три точки. В строгом же математическом виде теория интерполяции появилась во времена Лагранжа и Ньютона. Оказывается, что можно найти функции (полиномы), которые проходят через 4,5,10,20 и т.д. точек. Только в этом случае возникает непростой вопрос: а как будут себя вести эти функции-полиномы между заданными точками (узлами интерполяции)? Ведь полиномы, как известно, имеют максимумы и минимумы, т.е. они не будут похожими на ломаную кривую, построенную из отрезков прямых, соединяющих узлы в порядке их нумерации. Более того, оказывается, что в некоторых случаях амплитуда колебаний между точками может быстро и значительно расти, а интерполяционный процесс оказывается не столь простым, как кажется на первый взгляд. Поэтому на практике часто приходится использовать кусочную интерполяцию, так называемую сплайн-интерполяцию, которую также придумали инженеры, использовавшие для проведения гладких кривых специальные кривые линейки – лекала. Математическая теория сплайн-интерполяции относительно молодая – она появилась в 60-70-х годах прошлого столетия.