Шестая проблема Гильберта

     Август 1900 года. Париж. II Международный конгресс математиков. На секции преподавания и методологии математики выступает 38-летний немецкий профессор Давид Гильберт. То было время романтической математики. Вот несколько фраз из доклада Гильберта: «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи наших знаний и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли?». Пытаясь ответить на эти вопросы, Д. Гильберт формулирует свои знаменитые 23 проблемы.

     На вопрос, решены ли проблемы Гильберта, современные математики обычно отвечают, что к настоящему времени не решены лишь две проблемы Гильберта – о нулях дзета-функции Римана (8-я проблема) и о предельных циклах (16-я проблема). Почему-то они стесняются упоминать о шестой проблеме Гильберта: аксиоматизации теоретической физики, которая всё ещё, мягко говоря, в значительной мере остаётся открытой.

     Гильберт был не только одним из величайших математиков и логиков в истории человечества, не только выдающимся физиком-теоретиком, но и пионером использования аксиоматики в науке вообще. Он сам приложил некоторые усилия для решения своей шестой проблемы. Ему удалось аксиоматизировать феноменологическую теорию излучения и свою собственную единую теорию электромагнитного и гравитационного поля. К сожалению, он неверно выбрал предмет своих устремлений. Ведь уже через четыре месяца после доклада Гильберта Макс Планк поведал изумлённому миру о своей гипотезе квантов. А дальше развитие физики пошло по пути, который никто не мог предсказать Даже Гильберт. Его экскурс в физическую аксиоматику остался незамеченным.

     Оказали ли проблемы Гильберта влияние на развитие математики XX века? Не все отвечают утвердительно на этот вопрос. Выдающийся математик современности В.И. Арнольд считает это влияние незначительным. Он полагает, что «куда большее влияние на развитие математики XX века оказали работы ученика Гильберта, Германа Вейля, развивавшего скорее идею Анри Пуанкаре, который считал, что основной задачей математики XX века будет создание математического аппарата теории относительности и квантовой физики».

     В.И. Арнольду принадлежат такие слова: «Математика – это часть физики, являющаяся, как и физика, экспериментальной наукой: разница только в том, что в физике эксперименты стоят обычно миллионы долларов, в математике – единицы рублей».

     Его оппоненты решительно не согласны: «Математика – это отрасль лингвистики или филологии, занимающаяся преобразованием конечных цепочек символов некоторого конечного алфавита в другие такие цепочки при помощи конечного числа грамматических правил. Отличие от естественных языков, вроде китайского, английского или русского, состоит лишь в том, что в грамматике этого специального языка есть отсутствующие в живых языках правила (например, набор символов « » можно заменить на символ «3»)».

     Гильберт долго придерживался подобного формального определения. Он оставил его лишь тогда, когда австрийский логик Курт Гёдель опроверг его оптимистические надежды о полной формализации математической науки. Гёдель (1931 г.) доказал, что всякая непротиворечивая система аксиом, охватывающая арифметику натуральных чисел, не может содержать все формулы той области, которую намереваются систематизировать. Любая такая система, если она непротиворечива, необходимо является неполной. Если же система непротиворечива и полна, то её нельзя полностью аксиоматизировать.

     Не может быть никакой совершенной системы аксиом. Всё, к чему мы можем и должны стремиться, – это строить всё более лучшие системы аксиом. В этом состоит урок Гёделя.

     Обсуждение шестой проблемы Гильберта невольно приводит нас к вопросу о статусе математики и физики. В каком отношении друг к другу находятся эти области знания?

     В школе мне очень нравилась геометрия. Меня радовала возможность всё доказать, исходя из очень малого числа определений и аксиом. Случилось так, что в моём распоряжении оказалось много книг по математике на украинском языке, в том числе труды Н.И. Лобачевского по геометрии. В 9 – 10 классах я уже хорошо владел основами геометрии Лобачевского. Эта «воображаемая геометрия» действовала на меня как великая музыка.

     Изучая в МФТИ специальную теорию относительности, я от-крыл неожиданно для себя чудо: пространство скоростей в релятивистской механике – это пространство Лобачевского. Этот давно и хорошо известный факт произвёл на меня очень сильное впечатление. Н.И. Лобачевский решил проблему пятого постулата Евклида, над которой безуспешно трудились многие поколения математиков. Вот они – постулаты Евклида:

     I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

     II. И чтобы каждую прямую можно было неопределённо продолжить.

     III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность.

     IV. И чтобы все прямые углы были равны.

     V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекаются с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

     От Платона до Канта среди философов и математиков существовало мнение о том, что постулат или аксиома, положенные в основу науки, должны обладать признаком очевидности. Первые четыре постулата Евклида всем представлялись очевидными. Однако этого нельзя сказать о пятом постулате. Укрепилось твёрдое убеждение в том, что пятый постулат – это не постулат, а теорема, которую Евклид не сумел доказать. Так возникла проблема пятого постулата. Её пытались решить в течение двух тысяч лет крупнейшие геометры Греции и Византии, Востока и Запада.

     Поучителен путь, по которому Лобачевский шёл к своей геометрии. Вот что писал он в 1835 году в своих «Новых началах геометрии»: «Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен Евклида, в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самих понятиях ещё не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В справедливости своей догадки, будучи, наконец, убеждён и почитая затруднительный вопрос решённым вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 году».

     Постулат Евклида для Лобачевского произволен, он не может быть ни доказан, ни допущен. Он должен быть проверен опытом и наблюдением. Сложной и абстрактной природе пятого постулата должен соответствовать глубоко продуманный эксперимент. Но всякий эксперимент описывается в рамках определённой теории, в данном случае на основе определённой геометрической базы. Если за эту базу принять геометрию Евклида, то можно оказаться в порочном круге. Следовательно, для проверки евклидовой геометрии необходимо разработать другую геометрию, которая основана не на утверждении пятого постулата Евклида, а на его отрицании. Эту геометрию и разработал Лобачевский. Он использовал по существу физический стиль мышления.

     Мозг человека функционирует на основе законов окружающего его мира. В силу этого он не может ничего создать, кроме моделей окружающего мира. Математика изучает, по существу, чрезвычайно общие и достаточно чёткие модели окружающей действительности. Математика – это особый способ познания мира, которым физика широко пользуется. Физика может служить идеалом для любой развитой системы научного знания.

     Физика – не только экспериментальная, но и теоретическая наука. Её язык – это язык математики. Математика играет двоякую роль: не только обеспечивает физику вычислительными аппаратами, но и формирует её понятия.

     Математические понятия представляют самую суть физических идей. Без математического понятия производной нет физического понятия скорости. Без дифференциальных уравнений нет законов классической механики. Без операторных уравнений нет законов квантовой теории. Каждый символ, встречающийся в физической теории, имеет математической значение.

     Каково бы ни было наше понимание статуса математики и физики, это не должно нарушать единство педагогической гильдии физиков и математиков. Это не должно вызывать конфронтацию. Сотрудничество математиков и физиков приводит лишь к взаимному обогащению.

     Думаю, что мы служим одной науке.