Олимпиада «Физтех-2005» проводилась Московским физико-техническим институтом (МФТИ) 26 марта 2005 г. (математика) и 27 марта (физика) в городах Долгопрудный, Жуковский, Ижевск, Калининград, Киев, Магнитогорск, Миасс, Минск, Новосибирск, Озёрск, Пермь, Саратов, Саров, Сергиев-Посад, Тольятти, Чебоксары. Олимпиада по каждому предмету проходила в виде письменной контрольной работы длительностью 4,5 часа. Результаты победителей олимпиады могут быть зачтены в качестве результатов вступительных экзаменов в МФТИ. Ниже приведены тексты условий, решения и ответы одного из четырёх вариантов по каждому предмету.

Математика

     1. Найти все действительные решения системы уравнений

     2. Решите неравенство

     3. Решить уравнение

     4. Через центр О окружности Ω, описанной около треугольника АВС, проведена прямая, параллельная ВС и пересекающая стороны АВ и АС в точках B₁ и C₁ соответственно. Окружность ω проходит через точки B₁, i>C₁ и касается Ω, в точке K. Найти угол между прямыми АK и ВС. Найти площадь треугольника АВС и радиус окружности Ω, если B₁C₁=6, AK =6, а расстояние между прямыми ВС и B₁C₁ равно 2.

     5. При каких значениях параметра а уравнение |x⁵|−x+a=0 имеет единственное решение? Решить это уравнение для всех найденных значений а.

     6. Прямой круговой конус с вершиной О имеет высоту 4 и образующую длины 5. Пирамида АВСD вписана в конус так, что А и С принадлежат окружности основания, В и D принадлежат боковой поверхности, причём В принадлежит образующей ОА. Треугольники ОАС и ОВD равносторонние, причём OB=3. Найти объём пирамиды АВСD, двугранный угол при ребре АВ и радиус сферы, описанной около АВСD.

Ответы по математике

Физика

     1. На гладкой горизонтальной поверхности стола находится клин, прислонённый к гладкой вертикальной стене. Поверхность клина наклонена к горизонту под углом α (см. рис). Автомобильное колесо массой m скатывается без проскальзывания с клина. В процессе движения колеса по клину клин действует на стену с постоянной силой F. Какой скорости достигнет колесо, пройдя из состояния покоя путь S по клину?

     2. В цилиндре под поршнем находится ненасыщенный водяной пар под давлением P=1 атм. В процессе изобарического сжатия конечный объём, который занимает пар, уменьшается в К=4 раза по сравнению с объёмом, который он занимал вначале. При этом часть пара конденсируется, а объём, образовавшейся воды, составляет α=1/1720 от конечного объёма пара. Во сколько раз уменьшилась температура пара в указанном процессе? Плотность воды ρ=1 г/см3, молекулярная масса пара μ=18 г/моль.

     3. В схеме, изображенной на рисунке, определите ток через идеальный диод D и напряжение на диоде. Параметры схемы указаны на рисунке, внутренним сопротивлениями батарей пренебречь.

     4. В колебательном контуре, включающим в себя конденсатор емкостью С и две катушки самоиндукции с индуктивностями L₁ и L₂, происходят гармонические колебания. Катушка L₂ с числом витков N и площадью одного витка S расположена в однородном и стационарном магнитном поле с индукцией B₀, перпендикулярной плоскости витков. В тот момент, когда напряжение на конденсаторе достигает максимального значения U₀, магнитное поле выключают. Время спадания магнитного сопротивлением катушек и подводящих проводов, определите величину максимального тока в контуре после выключения магнитного поля.

     5. Луч лазера, направленный под малым углом α=0,1 рад к главной оптической оси рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F=-3 см, наблюдается в виде светящейся точки на экране Э, расположенном на расстоянии L=630 см от линзы. Если слева от линзы поставить плоскопараллельную диэлектрическую пластину толщиной d=1 см, то светящаяся точка смещается по экрану на расстояние H=8 см. Определить показатель преломления пластины. Указание: при малых углах х считать sinx=tg x=x.

Решения по физике

     1. Колесо и клин взаимодействуют с силой реакции R.

     1-й способ решения. Разложим силу реакции на силу трения F_ТР, действующую вдоль поверхности клина, и силу нормального давления N, перпендикулярную поверхности клина. Заметим, что сила трения – сила трения покоя. Силы, действующие на колесо и клин, показаны на рис. 1. Здесь М – масса клина, N₁ – сила, действующая на клин со стороны стола, а – ускорение центра масс колеса.

Запишем уравнения движения для колеса в проекциях на оси х и y, а для клина в проекциях на ось x₁:

Из записанных уравнений находим

Скорость

     2-й способ решения. Разложим силу реакции R на вертикальную и горизонтальную составляющие F₁ и F₂.Силы, действующие на колесо и клин, показаны на рис. 2.

Запишем уравнения движения для колеса и клина в проекциях на ось x₁:

Отсюда ускорение

Скорость

     2. В конечном состоянии имеем насыщенный пар при давлении P₁ атм, поэтому его температура T₂=373 К. Пусть m – начальная масса пара, V – конечный объём пара. Тогда m – ρ α V – конечная масса пара, KV – начальный объём пара. Считая пар идеальным газом запишем уравнения состояния в начале и в конце опыта:

Исключив m из последних двух уравнений, находим отношение начальной T₁ и конечной T₂ температур:

     3. Предположим, что диод открыт и через него течет ток I_D. Электрическая схема для этого случая изображена на рис. 3.

По первому правилу Кирхгофа I_D=I₁+I₂. По второму правилу Кирхгофа для контуров АМСВА и NMCDN

Из записанных уравнений находим ток через диод:

Получили положительное значение тока I_D. Следовательно, наше предположение верно. Итак, диод открыт, через него течет ток

а напряжение на диоде равно нулю.

     4. Для произвольного момента в процессе спадания (выключения) магнитного поля можно записать:

Отсюда d(Ф₁+Ф₂)=−U₀ dt. Здесь U₀ – напряжение на конденсаторе, которое не успевает измениться, Ф₁ – магнитный поток собственного поля через катушку L₁, Ф₂ – магнитный поток внешнего и собственного полей через катушку L₂. Интегрирование дает Δ(Ф₁+Ф₂)=−U₀ τ.

     Здесь Δ(Ф₁+Ф₂)=−U₀ τ. – изменение суммы потоков за время τ выключения поля. Поскольку τ мало, то можно считать, что Δ(Ф₁+Ф₂)=0 т.е. Δ(Ф₁+Ф₂)= const.

     Пусть сразу после выключения поля в контуре течет ток I₀. Тогда L₁I₀+L₁I₀=B₀ SN. Отсюда ток

В этот момент энергия, запасенная в контуре,

     В тот момент, когда ток в контуре достигнет максимального значения I_max напряжение на конденсаторе будет равно нулю, и энергия в контуре будет равна

По закону сохранения энергии W₁=W₂. Отсюда

     5. На рис. 4 DAME – ход луча без пластины, DBKQ – ход луча при наличии пластины. Заметим, что AM || BK. Выразим предварительно смещение х луча вдоль плоскости линзы через d, α и показатель преломления плостины n.

Из подобия треугольников PKM и PQE следует, что

С учетом выражения для х получаем уравнение

Отсюда

Публикацию подготовили: по математике Р.В. Константинов;
по физике В.В. Можаев, Ю.В. Чешев, В.И. Чивилёв, А.А. Шеронов.