XIV заочная физико-математическая олимпиада МФТИ, 2004-2005 год.

Содержание

Анкета учатника олимпиады
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА

Заочная физико-математическая олимпиада МФТИ рассчитана на учащихся 10-11 классов, но в ней могут участвовать и девятиклассники. Победители олимпиады пользуются правом преимущественного зачисления в МФТИ при прочих равных условиях. Решение задач оценивается как успешное, а участник олимпиады признается её победителем с вручением диплома, если решено без ошибок не менее 5 любых задач из предложенных 12. При этом должна быть решена хотя бы одна задача по математике и одна задача по физике.

Решение задач оценивается как отличное, а участник олимпиады признаётся её лауреатом с вручением диплома лауреата, если решено без ошибок не менее 4 задач по физике и 4 задач по математике.

Решения задач должны быть представлены в тонкой ученической тетради, на обложке которой должна быть наклеена ксерокопия удостоверения члена «Физтех-Академии» или анкета участника, которая должна быть заполнена разборчивым почерком печатными буквами. На первой странице следует написать ответы ко всем задачам. Решение задач по математике пишутся в начале тетради, а только потом пишутся решения задач по физике. Задачи пишутся по порядку. Каждое решение начинается с новой страницы. Если задача не решена, следует оставить пустую страницу с номером задачи. Решения задач высылаются по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, МФТИ, «Физтех-Центр» – не позднее 20 февраля 2005 года.

По мере прохождения проверки, результаты олимпиады будут представлены на Интернет-Портале «Абитуриент» http://www.abitu.ru.

Оргкомитет 
физико-математических
олимпиад МФТИ
Справки по телефонам:
«Физтех-Центр» (тел./факс)   (095) 408-64-36
Заочная физико-техническая школа   (095) 408-51-45
Приёмная комиссия   (095) 408-48-00

Анкета учатника олимпиады

Анкета

МАТЕМАТИКА

M1. Найдите наименьшее натуральное $n$ такое, что число $(n + 100)!$ содержит в конце на 2004 нуля больше, чем число $n!$ $(m! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot m)$ .

M1. Найдите наименьшее натуральное $n$ такое, что число $(n + 100)!$ содержит в конце на 2004 нуля больше, чем число $n!$ $(m! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot m)$ .

M2. Параболы П₁ $:\,y = 2004\,x^2 + ax + b$ и П₁ $:\,y =\,- x^2 + cx + d$ (a,b,c,d не даны) касаются в точке $K$. Прямая параллельная оси Ох, пересекает П₁ в точках $K$ и $M$, а прямая, параллельная оси Оу, пересекает параболы в точках $М$ и $N$. В каком отношении делит отрезок $MN$ общая касательная к параболам?

M2. Параболы П₁ $:\,y = 2004\,x^2 + ax + b$ и П₁ $:\,y =\,- x^2 + cx + d$ (a,b,c,d не даны) касаются в точке $K$. Прямая параллельная оси Ох, пересекает П₁ в точках $K$ и $M$, а прямая, параллельная оси Оу, пересекает параболы в точках $М$ и $N$. В каком отношении делит отрезок $MN$ общая касательная к параболам?

M3. Существует ли разносторонний треугольник такой, что биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, делят его на три части, из которых можно составить треугольник, не равный исходному?

M3. Существует ли разносторонний треугольник такой, что биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, делят его на три части, из которых можно составить треугольник, не равный исходному?

M4. Центр сферы радиуса $R=1$ расположен на расстоянии $\sqrt 3$ от прямой $l$. Какой наименьший объем может иметь правильный тетраэдр ABCD, ребро AB которого лежит на прямой $l$, а прямая CD касается сферы в одной из точек отрезка CD?

M4. Центр сферы радиуса $R=1$ расположен на расстоянии $\sqrt 3$ от прямой $l$. Какой наименьший объем может иметь правильный тетраэдр ABCD, ребро AB которого лежит на прямой $l$, а прямая CD касается сферы в одной из точек отрезка CD?

M5. Найдите количество 2004-значных чисел, каждое из которых содержит все цифры, кроме нуля, и никакие две рядом стоящие цифры которых не являются одинаковыми.

M5. Найдите количество 2004-значных чисел, каждое из которых содержит все цифры, кроме нуля, и никакие две рядом стоящие цифры которых не являются одинаковыми.

M6. Ненулевые функции $f\,(x)$ и $g\,(x)$ определены при всех $x \in R$ и удовлетворяют неравенству $f\,(x) + f(x - y) = f(x)\,g(y)$ при всех $x,\,y \in R$ . Какое наименьшее значение может принимать функция $g(x)$ ?

M6. Ненулевые функции $f\,(x)$ и $g\,(x)$ определены при всех $x \in R$ и удовлетворяют неравенству $f\,(x) + f(x - y) = f(x)\,g(y)$ при всех $x,\,y \in R$ . Какое наименьшее значение может принимать функция $g(x)$ ?

Внимание: Во всех задачах ответ должен быть обоснован. В задаче № 5 ответ должен быть представлен в замкнутой форме (т.е. в виде выражения, не содержащего знаков Σ - суммирования, многоточий и т.п.).

ФИЗИКА

Ф1. Гелий расширяется в процессе 1-2, в котором его давление пропорционально объёму от температуры $T$ до температуры $1,2T$. Затем гелий расширяется изобарически в процессe 2-3 до температуры $1,5 T$. Найти отношение количеств теплоты, полученных газом в процессах 1-2 и 2-3.

Ф1. Гелий расширяется в процессе 1-2, в котором его давление пропорционально объёму от температуры $T$ до температуры $1,2T$. Затем гелий расширяется изобарически в процессe 2-3 до температуры $1,5 T$. Найти отношение количеств теплоты, полученных газом в процессах 1-2 и 2-3.

Ф2. Шарик, висящий на упругой пружине, колеблется вдоль вертикали с периодом $T=1 с$, двигаясь вблизи и перпендикулярно главной оптической оси тонкой собирающей линзы. Изображение шарика в линзе колеблется с амплитудой $A=2$ см. Фокусное расстояние линзы $F$ , шарик находится на расстоянии $3F/2$ от линзы. Найти максимальную скорость шарика.

Ф2. Шарик, висящий на упругой пружине, колеблется вдоль вертикали с периодом $T=1 с$, двигаясь вблизи и перпендикулярно главной оптической оси тонкой собирающей линзы. Изображение шарика в линзе колеблется с амплитудой $A=2$ см. Фокусное расстояние линзы $F$ , шарик находится на расстоянии $3F/2$ от линзы. Найти максимальную скорость шарика.

Ф3. Найти ток(c указанием направления)через резистор сопротивлением $8R$ сразу после замыкания ключа. Параметры схемы представлены на рисунке.		Рис.к Ф3.

Ф3. Найти ток(c указанием направления)через резистор сопротивлением $8R$ сразу после замыкания ключа. Параметры схемы представлены на рисунке.

Рис.к Ф3.

Ф4. Над наклонной плоскостью с углом наклона к горизонту $\alpha$ удерживают шарик. Шарик отпускают, и через время $t_0$ он ударяется о плоскость. Считая все удары шарика упругими, найти интервал времени между вторым и пятым ударами.

Ф4. Над наклонной плоскостью с углом наклона к горизонту $\alpha$ удерживают шарик. Шарик отпускают, и через время $t_0$ он ударяется о плоскость. Считая все удары шарика упругими, найти интервал времени между вторым и пятым ударами.

Ф5. Внутри камеры автомобильного колеса радиуса $R$ находится небольшое сплющенное тело на расстоянии $r=13R/15$ от оси колеса (см. рис.). Коэффициент трения скольжения между телом и камерой равен $\mu$. 1) Найти максимальный угол $\alpha$ между вертикалью и радиальным направлением на тело, при котором тело сможет оставаться в покое относительно колеса, при неподвижном колесе. 2)При какой минимальной постоянной скорости автомобиля тело сможет оставаться в покое относительно колеса.		Рис. к Ф5

Ф5. Внутри камеры автомобильного колеса радиуса $R$ находится небольшое сплющенное тело на расстоянии $r=13R/15$ от оси колеса (см. рис.). Коэффициент трения скольжения между телом и камерой равен $\mu$. 1) Найти максимальный угол $\alpha$ между вертикалью и радиальным направлением на тело, при котором тело сможет оставаться в покое относительно колеса, при неподвижном колесе. 2)При какой минимальной постоянной скорости автомобиля тело сможет оставаться в покое относительно колеса.

Рис. к Ф5

Ф6. Положительно заряженная частица массой $m$ и с зарядом $q$ , двигаясь перпендикулярно четырем проводящим сеткам, пролетела через них (см. рис.). Перед пролётом сеток на расстоянии от сеток, значительно большем из размеров, скорость частицы была $V_0$. Расстояние между сетками $d, 2d, 3d$, намного меньше размеров сеток. К сеткам подсоединены источники с ЭДС $\varepsilon, 3\varepsilon, 5\varepsilon$ $(n + 100)!$ . Найти отношение скоростей частиц в точках $M$ и $N$ .		Рис. к Ф6

Ф6. Положительно заряженная частица массой $m$ и с зарядом $q$ , двигаясь перпендикулярно четырем проводящим сеткам, пролетела через них (см. рис.). Перед пролётом сеток на расстоянии от сеток, значительно большем из размеров, скорость частицы была $V_0$. Расстояние между сетками $d, 2d, 3d$, намного меньше размеров сеток. К сеткам подсоединены источники с ЭДС $\varepsilon, 3\varepsilon, 5\varepsilon$

(n + 100)!

. Найти отношение скоростей частиц в точках $M$ и $N$ .

Рис. к Ф6